DISTRIBUSI BINOMIAL

BAB I 

PENDAHULUAN

Distribusi teoretis merupakan alat bagi kita untuk menentukan apa yang dapat kita harapkan, apabila asumsi-asumsi yang kita buat benar. Distribusi frekuensi dapat digunakan sebagai dasar pembanding dari suatu hasil observasi/eksperimen dan sering juga digunakan sebgaai pengganti distribusi sebenarnya.Hal ini penting sekali oleh karena distribusi sebenarnya yang harus diperoleh melalui eksperimen biasanya selain sangat mahal juga karena sesuatu hal seringkali tidak dapat dilakukan.

Distribusi teoretis memungkinkan para pembuat keputusan memperoleh dasar logika yang kuat dalam membuat keputusan, dan sangat berguna sebagai dasar pembuatan ramalan (forecasting/prediction) berdasarkan informasi yang terbatasatau pertimbangan-pertimbangan teoretis, dan berguna pula untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu kejadian.

Pengertian mengenai beberapa distribusi yang utama akan meningkatkan kemampuan seseorang untuk membaca dan mengartikan hasil karya ilmiah di semua bidang. Setiap kejadian yang dapat dinyatakan sebagai perubahan nilai suatu variabel umumnya mengikuti suatu distribusi teoretis tertentu dan apabila sudah diketahui dengan jelas jenis distribusinya, kita akan dapat dengan mudah berapa probabilitas kejadian tersebut. Misalnya: berapa probabilitas bahwa seorang calon presiden RI akan terpilih menggantikan presiden yang lama.

            Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskret jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika n = 1, distribusi binomial adalah distribusi bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik.

            Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada jumlah sampel n dari jumlah populasi N. Apabila sampel tidak saling bebas (yakni pengambilan sampel tanpa pengembalian), distribusi yang dihasilkan adalah distribusi hipergeometrik, bukan binomial.Semakin besar N daripada n, distribusi binomial merupakan pendekatan yang baik dan banyak digunakan.

BAB II

 PEMBAHASAN

A.      Pengertian Distribusi Binomial

Distribusi Binomial ditemukan oleh seorang ahli matematika berkebangsaan Swiss bernama Jacob Bernauli.Oleh karena itu distribusi binomial ini dikenal juga sebagai distribusi bernauli.

Distribusi binomial berasal dari percobaan binomial yaitu suatu proses Bernoulli yang diulang sebanyak n kali dan saling bebas. Suatu distribusi Bernoulli dibentuk oleh suatu percobaan Bernoulli (Bernoulli trial). Sebuah percobaan Bernoulli harus memenuhi syarat:Keluaran (outcome) yang mungkin hanya salah satu dari “sukses” atau “gagal”, Jika probabilitas sukses p, maka  probabilitas gagal q = 1 – p.

Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskrit jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika n = 1, distribusi binomial adalah distribusi bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik.

Distribusi Binomial digunakan untuk data diskrit (bukan data kontinu) yang dihasilkan dari eksperimen Bernouli, mengacu kepada matematikawan JacobBernouli. Peristiwa pelemparan mata uang (koin) yang dilakukan beberapa kaliadalah contoh dari proses bernouli, dan hasil (outcomes) dari tiap-tap pengocokan dapat dinyatakan sebagai distribusi probabilitas binomial. Kejadiansukses atau gagal calon pegawai dalam psikotest merupakan contoh lain dari proses Bernouli. Sebaliknya distribusi frekuensi hidupnya lampu neon di pabrik anda harus diukur dengan skala kontinu dan bukan dianggap sebagai distribusi binomial.

Secara formal, suatu eksperimen dapat dikatakan eksperimen binomial jika memenuhi empat persyaratan:

1.      Banyaknya eksperimen merupakan bilangan tetap (fixed number of trial)

2.      Setiap ekperimen selalu mempunyai dua hasil ”Sukses” dan ”Gagal”. Tidak ada ‟daerah abu-abu‟. Dalam praktiknya, sukses dan gagal harus didefinisikan sesuai keperluan, Misal:

Ø  Lulus (sukses), tidak lulus (gagal)

Ø  Setuju (sukses), tidak setuju (gagal)

Ø  Barang bagus (sukses), barang sortiran (gagal)

Ø  Puas (sukses), tidak puas (gagal)

3.      Probabilitas sukses harus sama pada setiap eksperimen.

4.      Eksperimen tersebut harus bebas satu sama lain, artinya satu eksperimen

tidak boleh berpengaruh pada hasil eksperimen lainnya.

Untuk membentuk suatu distribusi binomial diperlukan dua hal :

1.      Banyaknya/jumlah percobaan/kegiatan;

2.      Probabilitas suatu kejadian baik sukses maupun gagal.

Rumus Distribusi Binomial
b(x;n,p) = nCx px qn-x dimana x = 0,1,2,3,…,n 
n : banyaknya ulangan
x : banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x
p : peluang berhasil dalam setiap ulangan 
q : peluang gagal, dimana q = 1-p dalam setiap ulangan

B.      Distribusi Binomial Negatif

Suatu distribusi binomial negatif dibentuk oleh suatu eksperimen yang memenuhi kondisi-kondisi berikut:

Eksperimen terdiri dari serangkaian percobaan yang saling bebas

Setiap percobaan (trial) hanya dapat menghasilkan satu dari dua keluaran yang mungkin, sukses atau gagal.

Probabilitas sukses p, dan demikian pula probabilitas gagal q = 1 - p selalu konstan dalam setiap percobaan (trial)                                               

Eksperimen terus berlanjut (percobaan terus dilakukan) sampai sejumlah total k sukses diperoleh, dimana k berupa bilangan bulat tertentu.

Jadi pada suatu eksperimen binomial negatif, jumlah suksesnya tertentu sedangkan jumlah percobaannya yang acak.

C.      Ciri-ciri Distribusi Binomial

1.      Ciri pertama distribusi binomial adalah bila jumlah n tetap dan p kecil maka distribusi yang dihasilkan akan miring ke kanan dan bila p makin besar maka kemiringan akan berkurang dan bila p mencapai 0,5 maka distribusi akan menjadi simetris. Bila p lebih besar dari 0,5, maka distribusi yang dihasilkan akan miring ke kiri.

2.      Ciri kedua nya adalah bila p tetap dengan jumlah n yang makin besar maka akan dihasilkan distribusi yang mendekati distribusi simetris.

3.      Percobaan diulang sebanyak n kali.

4.      Hasil setiap ulangan dapat dikategorikan ke dalam 2 kelas, misal :

“BERHASIL” atau “GAGAL”;

“YA” atau “TIDAK”;

“SUCCESS” or “FAILED”.

5.      Peluang berhasil / sukses dinyatakan dengan p dan dalam setiap ulangan nilai p tetap. Peluang gagal dinyatakan dengan q, dimana q = 1-p.

6.      Setiap ulangan bersifat bebas (independen) satu dengan lainnya.

7.      Percobaannya terdiri atas n ulangan (Ronald.E Walpole)

8.      Nilai n < 20 dan p > 0.05

D.     Contoh Peristiwa Distribusi Binomial

Contoh soal

Probabilitas seorang bayi tidak di imunisasi polio adalah 0,2 (p). Pada suatu hari di Puskesmas “X” ada 4 orang bayi. Hitunglah peluang dari bayi tersebut 2 orang belum imunisasi polio. Jadi, di dalam kejadian binomial ini dikatakan b  b (2, 4, 0,2)à(x=2, n=4, p=0,2)  BioStatistik

Penyelesaian soal  :

Katakanlah bayi tersebut A,B,C,D. Dua orang tidakndiimunisasi mungkin adalah A&B, A&C, A&D, B&C, B&D, C&D.  Rumus untuk b (x,n,p) adalah:n P (x)= n! Px (1-p)n-x x! (n-x)! = 4! 0,22 (1-0,2)4-2 2! (4-2)! = 4.3.2.1 0,22 x 0,82 = 0,1536 = 0,154 2.1 (2.1)

Penyelesaian  :

Disamping memakai rumus binomial, permasalahan ininjuga dapat dikerjakan dengan memakai tabel binomial, caranya adalah dengan menentukan n.misalnya dari contoh soal adalah 4, dilihat pada kolom pertama kolom kedua adalah kemungkinan x, dalam permasalahan ini adalah x=2. p dilihat pada baris paling atas dalam hal ini p=0,2, ditarik garis dari p= 0,2 sampai ke n = 4dan x = 2, ditabel didapatkan 0,973. Ini adalah peluang kumulatif dari p (x=0) + p (x=1) + p (x=2). Jadi kalau mau mendapatkan p(x=2) saja, maka 0,973-0,819 = 0,154

Contoh:

Suatu eksperimen Binomial, yang terdiri dari pengambilan satu bola secara acak dari kotak yang berisi 30 bola merah(= 30M) dan 70 bola putih(= 70P). Y adalah variabel acak dengan nilai sebagai berikut.

P(M) = p = probabilitas untuk mendapat bola merah (sukses)

               = = 0,30

P(P) = q = probabilitas untuk mendapat bola putih (gagal)

              = = 0,70

E(Y) = 1(p) + 0(q)

        = 1(0,3) + 0(0,7)

        = 0,3

Bila dilakukan eksperimen empat kali. Pengambilan bola dilakukan dengan pengembalian bola yang terambil. Hal ini untuk menjaga agar eksperimen yang satu tidak mempengaruhi hasil eksperimen yang lain. Eksperimen ini akan menghasilkan 2⁴= 16 hasil sebagai berikut.

1.      MMMM                                       9. PMMM

2.      MMMP                                      10. PMMP

3.      MMPM                                      11. PMPM

4.      MMPP                                        12. PMPP

5.      MPMM                                      13. PPMM

6.      MPMP                                        14. PPMP

7.      MPPM                                        15. PPPM

8.      MPPP                                         16. PPPP

Masing-masing hasil eksperimen terdiri dari empat kejadian yang bebas satu sama lain, sehingga probabilitas terjadinya setiap hasil eksperimen merupakan hasil kali probabilitas masing-masing kejadian, misalnya P(MMPM) = ppqp = (0,3)(0,3)(0,7)(0,3) = 0,0189.

Aturan perkalian untuk kejadian-kejadian bebas dan aturan penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang saling meniadakan, yang sudah dibahas dalam materi probabilitas di buku jilid 1 dapat diterapkan di sini dan perhitungannya adalah.

P(3M dan 1P) = P(MMMP) + P(MMPM) + P(MPMM) +

                          P(PMMM)

                       = (0,3)(0,3)(0,3)(0,7) + (0,3)((0,3)(0,7)(0,3) +

                          (0,3)(0,7)(0,3)(0,3) + (0,7)(0,3)(0,3)(0,3)

                       = 0,0756

Tanpa memperhatikan urutan dari masing-masing kejadian, setiap suku dalam penjumlahan tersebut mempunyai probabilitas sebesar pppq = p³q. Dengan cara yang sederhana ini, kita dapat menghitung probabilitas untuk mendapatkan sejumlah bola merah tertentu sebagai hasil eksperimen.

Dapat ditunjukkan bahwa apabila eksperimen dilakukan sebanyak 4 kali, maka.

             X = 0, 1, 2, 3, 4

Sedangkan untuk n kali.

             X = 0, 1, 2, …, n.

Apabila semua nilai probabilitas X sebagai hasil suatu eksperimen kita hitung, akan kita peroleh distribusi probabilitas X dan disebut distribusi probabilitas Binomial.

P(X = 0) = P(PPPP) = (0,7)(0,7)(0,7)(0,7) = (0,7)⁴ = 0,2401

P(X = 1) = pq³+ qpq² + q²pq + q³p

              = (0,3)(0,7)³ + (0,7)(0,3)(0,7)² + (0,7)²(0,3)(0,7) +

                 (0,7)³(0,3)

              = 0,4116

P(X = 2) = p²q²+ pqpq + pq²p + qp²q + qpqp + q²p²

              = (0,3)²(0,7)²+ (0,3)(0,7)(0,3)(0,7) + (0,3)(0,7)²(0,3) +

                 (0,7)(0,3)²(0,7) + (0,7)(0,3)(0,7)(0,3) + (0,7)²(0,3)²

              = 0,2646

P(X = 3) = p³q + p²qp + pqp² + qp³

              = (03)³(0,7) + (0,3)²(0,7)(0,3) + (0,3)(0,7)(0,3)² +

                 (0,7)(0,3)³

              = 0,0756

P(X = 4) = P(MMMM) = p⁴ = (0,3)⁴ = 0,0081

Dari contoh soal diatas, dapat disimpulkan bahwa dalam dalam distribusi probabilitas binomial, dengan n percobaan, berlaku rumus berikut.

             P_r(x sukses, dalam n percobaan) = p^x q^n-x

Dimana x = 0, 1, 2, 3, …, n

             p = probabilitas sukses.

             q = (1-p) = probabilitas gagal

Aturan umum permutasi dapat digunakan untuk memperoleh banyaknya kemungkinan urutan yang berbeda, dimana masing-masing urutan terdapat x sukses, misalnya x = 3 (= 3 sukses) : MMMP, MMPM, MPMM, PMMM.

Apabila suatu himpunan yang terdiri dari n elemen dibagi dua, yaitu x sukses dan (n – x) gagal, maka banyaknya permutasi dari n elemen yang diambil x setiap kali dapat dihitung berdasarkan rumus kombinasi berikut.

                          

disebut koefisien Binomial(merupakan kombinasi dari n elemen yang diambil x setiap kali)

Masing-masing probabilitas pada distribusi Binomial dihitung sebagai berikut.

                    

                      x = 0, 1, 2, …, n

p_r(x) dari rumus diatas, merupakan fungsi probabilitas, karena.

a). p_r(x) ³ 0, untuk semua x, sebab ³ 0 dan p^xq^n-x ³ 0

b).  = 1, untuk semua x.

Contoh :

Seorang penjual mengatakan bahwa di antara seluruh barang dagangannya yang dibungkus rapi, ada yang rusak sebanyak 20%. Seorang membeli barang tersebut sebanyak 8 buah dan dipilihnya secara acak. Kalau X = banyaknya barang tidak rusak(bagus) maka.

a). Hitung semua probabilitas untuk memperoleh X.

b). Buat probabilitas kumulatif.

c). Berapa probabilitasnya bahwa dari 8 buah barang yang dibeli, ada 5 yang rusak.

d). P(X ≤ 5), P(2 ≤ X < 5), P(X ≤ 8), P(X ³ 4).

Penyelesaian :

a). Probabilitas untuk memperoleh X.

p_r(X = 0) =

p_r(X = 1) =

p_r(X = 2) =

p_r(X = 3) =

p_r(X = 4) =

p_r(X = 5) =

p_r(X = 6) =

p_r(X = 7) =

p_r(X = 8) =

b). Probabilitas Kumulatif.

P(X ≤ 0) = 0,0000

P(X ≤ 1) = 0,0000 + 0,0001 = 0,0001

P(X ≤ 2) = 0,0001 + 0,0011 = 0,0012

P(X ≤ 3) = 0,0011 + 0,0092 = 0,0104

P(X ≤ 4) = 0,0104 + 0,0459 = 0,0563

P(X ≤ 5) = 0,0563 + 0,1468 = 0,2031

P(X ≤ 6) = 0,2031 + 0,2936 = 0,4967

P(X ≤ 7) = 0,4967 + 0,3355 = 0,8322

P(X ≤ 8) = 0,8322 + 0,1678 = 1,0000

c). 5 rusak, berarti x = 3

P(X = 3) = 0,0092 (lihat jawaban a)

d). P(X ≤ 5) = 0,2031 (lihat jawaban b)

     P(2 ≤ X <5) = p_r(X = 2) + p_r(X = 3) + p_r(X = 4)

                         = 0,0011 + 0,0092 + 0,0459

                         = 0563

     P(X ≤ 8) = 1 (lihat jawaban b)

     P(X ³4) = p_r(X = 4) + p_r(X = 5) + p_r(X = 6) + p_r(X = 7) +

                      p_r(X = 8)

                   = 0,0459 + 0,1468 + 0,2936 + 0,3355 + 0,1678

                   = 0,9896

Apabila nilai n makin besar, perhitungan probabilitas Binomial dalam prakteknya harus digunakan tabel Binomial.

Dalam tabel tersebut, n = 16, dan p = (0,05), (0,10), (0,15), …, (0,50). Apabila p > 0,50, maka persoalannya harus dibalik, yaitu menjadi x gagal dan (n – x) sukses. Dengan demikian, peranan p bukan lagi menjadi probabilitas sukses melainkan probabilitas gagal. Untuk n yang cukup besar dapat digunakan tabel normal.

E. Rata-rata dan Varians Distribusi Binomial

Kita mengetahui bahwa untuk mencari rata-rata (m) kita menggunakan rumus.

             µ = E(X) =

                           =

dimana x = 1, 2, 3, …, n.

Perhatikan bahwa X = S Y_i = Y₁ + Y₂ + …+ Y_n

Di mana Y_i

E(Y_i) = 1(p) + 0(1 – p) = p + 0 = p, untuk semua i

E(X) = E(SY_i) = SE(Y_i) = E(Y₁) + E(Y₂) + …+ E(Y_n)

                                    =

                                    = np

Jadi rata-rata dari distribusi binomial adalah np

Sedangkan untuk menentukan varians dari distribusi binomial, kita menggunakan rumus.

Var(X) = E{X – E(X)}²

           = E(X – np)²

           = S(x – np)² p(x)

Var(Y) = E{X – E(Y)}²

           = E(Y – p)²

           = S(x – p)² p(y)

           = (1 – p)² (p) + (0 – p)²(1 – p)

           = (1 – p)² p + p²(1 – p)

           = p(1 – p) (1 – p + p)

           = p(1 – p)

           = pq

Var(X) = Var(SY_i)

           = SVar(Y_i)

           = V(Y₁) + V(Y₂) + …+ V(Y_n)

           =  = npq

jadi varians dari distribusi binomial adalah npq.

Dengan demikain, dapat disimpulkan bahwa untuk variabel X yang mengikuti distribusi binomial berlaku rumus berikut.

             m= E(X) = np

             s² = E[X – E(X)}²= E(X – np)² = npq

              s  =

Contoh :

Suatu mata uang logam Rp. 50 dilemparkan ke atas sebanyak 4 kali, dimana probabilitas munculnya gambar p(B) sama dengan probabilitas munculnya gambar bukan burung p() = . Jika X = banyaknya gambar burung (B) yang muncul, carilah nilai rata-rata {E(X)} dan simpangan bakunya (s) dengan menggunakan cara :

a). Perhitungan secara langsung.

b). Dengan menggunakan rumus E(X) = np, s =

Penyelesaian :

a). s² = E{X – E(X)}²

     E(X) = Sxp_r(x)

     E(X) = (0)( + (1) + (2) + (3) + (4) 

             = (0)(0,0625) + (1)(0,25) + (2)(0,3570) + (3)(0,25) +

                (4)(0,0625)

             = 1,964 » 2

    Di dalam 4 kali lemparan, diharapkan secara rata-rata memperoleh 2B.

    Var(X) = s² = E(X – 2)²

               = S(x – 2)2 p_r(x)

               = (0 - 2)²( + (1 - 2)² + (2 - 2)² + (3 - 2)² +

                  (4 - 2)² 

               = (4)(0,0625) + (1)(0,25) + (0)(0,3570) + (1)(0,25) +

                  (4)(0,0625)

               = 1

            s= = 1

b). E(X) = np = 4 = 2

          s² = npq = 4 = 1

           s= = 1

BAB III

KESIMPULAN

3.1. Kesimpulan

Dari keseluruhan isi makalah ini, dapat kita dapat mengambil kesimpulan bahwa statistic digunakan sebagai metode untuk pengumpulan data yang bertujuan untuk penarikan suatu keputusan. Di dalam Statistic sendiri terdiri dari 3 hal yaitu kuartil, desil dan persentil. Dimana masing – masing nya memiliki rumus tersendiri untuk menghitung jumlah data – data yang ada.

Distribusi Binomial seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada jumlah sampel n dari jumlah populasi N. Distribusi ini banyak digunakan pada masalah yang mungkin bernilai benar atau salah, gagal atau sukses, dan lain sebagainya.

3.2. Saran

Dari makalah ini, dapat disarankan agar kita bisa menggunakan metode ini untuk mengambil suatu data apapun, guna penarikan suatu keputusan. Dimana kita juga dapat menggunakan rumus kuartil, desil, ataupun persentil tergantung pada situasi yang kita hadapi.

Tak lepas dari itu semua, kami sebagai penyusun juga mengahrapkan saran – saran yang membangun guna hasil yang jauh lebih baik kedepannya.

DAFTAR PUSTAKA

http://id.wikipedia.org/wiki/Distribusi_binomial

http://cyber-learn.blogspot.com/2008/09/modul-distribusi-binomial.html

http://www.gudangmateri.com/2009/12/distribusi-binomial-suatu-percobaan.html

http://berandakami.files.wordpress.com/2008/10/distribusi_probabilitas.pdf

http://erlanpasti.blogspot.com/2010/04/distribusi-binomial.html